Vierecke

Es gibt eine Menge Vierecke auf dieser Welt.

Die Mathematik bringt sie alle in eine Ordnung und man kann sie anhand ihrer besonderen Merkmale unterscheiden.

Weiter unten findest du die Berechnungen mit Beispielen an den verschiedenen Vierecken. Klick auf das Viereck, dass dich interessiert. Damit kommst du direkt dahin:

  1. Berechnungen am Rechteck
  2. Berechnungen am Quadrat
  3. Berechnungen am Parallelogramm
  4. Berechnungen am Trapez
  5. Berechnungen am Drachen 
  6. Zusammengesetzte Flächen 

Zusammenfassung der Merkmale von Vierecken

 

Alle Vierecke haben gemeinsame Merkmale, an denen man sie als Vierecke erkennt und die man wissen muss:

 

  1. Sie haben 4 Ecken und 4 Seiten.
  2. Die Summe ihrer Innenwinkel ist immer 360°.
  3. Die Diagonalen bilden zusammen mit 2 Seiten stets Dreiecke.

Darüber hinaus haben die Vierecksarten zusätzliche Merkmale.

 

Nachfolgend findest du sie alle kurz aufgelistet. Wenn du die Merkmale drauf hast, kannst du ein Viereck leicht zuordnen - und schwups suchst du in deiner Formelsammlung die passenden Formeln dafür heraus.

Rechtecke

  1. Alle gegenüberliegenden Seiten sind parallel.
  2. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang.
  3. Es gibt nur rechte Winkel.

k = Länge, p = Breite, d = Diagonale

Quadrate

  1. Alle gegenüberliegenden Seiten sind parallel.
  2. Alle Seiten sind gleich lang.
  3. Es gibt nur rechte Winkel.

k = Länge bzw. Breite, d = Diagonale

Parallelogramme

  1. Alle gegenüberliegenden Seiten sind parallel.
  2. Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.
  3. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.

y = Länge, w = Breite, d = Diagonale

Trapeze

Regelmäßige Trapeze

  1. Nur 2 gegenüberliegende Seiten sind parallel.
  2. Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.
  3. Nebeneinanderliegende Winkel sind gleich groß.

f = lange Seite, n = Breite, b = kurze Seite, d = Diagonale

Unregelmäßige Trapeze

  1. 2 gegenüberliegende Seiten sind parallel.
  2. Alle Seiten sind unterschiedlich lang.

a = Seite, c = Seite, b = Seite, e = Seite, d1 und d2 = Diagonalen

Raute bzw. Drachen

  1. keine parallelen Seiten
  2. Nebeneinanderliegende Seiten sind gleich lang.
  3. Die angrenzenden, nicht gleich langen Seiten bilden den gleichen Winkel.
  4. Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

h = kurze Seite, g = lange Seite,  d1 und d2 = Diagonalen

Berechnungen am Rechteck

 

Gerade die Fläche ist häufig wichtig, zum Beispiel, um die Menge von Farbe zu berechnen für eine Wandfläche oder die Zimmerdecke, um die Ladefläche auf LKWs zu bestimmen oder die Menge an Fliesen oder Laminat zu berechnen, wenn man den Boden damit belegen möchte.

Die meisten Flächen in unserem Alltag sind Rechtecke. Hier sollte man sich also gut auskennen.

An einem Rechteck kann man grundsätzlich mehrere Dinge berechnen:

 

Die Schwierigkeiten hier sind oft, dass man aus einer Textaufgabe herauslesen muss, was vorgegeben ist. Das muss man dann im nächsten Schritt richtig zuordnen und in der MSA-Prüfung meist noch die Formeln umstellen.

 

Schauen wir uns erst einmal die Formeln an, mit denen man am Rechteck rechnen kann.

 

Umfang im Rechteck berechnen

Der Umfang hat das Formelzeichen U.

Es ist die Strecke, die einmal um das Rechteck herum geht. Man bekommt den Umfang ganz einfach heraus, indem man die Seitenlängen zusammenzählt:

Wenn dir die Vorstellung fehlt: Stell dich gedanklich auf eine Ecke und laufe den Rand ab bis du wieder am Anfang ankommst.

U = k + p + k + p

Nun fasst man die Seitenlängen zusammen:

U = 2k +2p

 

Und schon hat man die Formel für den Umfang. Man kann nun noch den rechten Term faktorisieren (muss man aber nicht):

U = 2(k + p)

 

 

Flächeninhalt im Rechteck berechnen

Der Flächeninhalt hat das Formelzeichen A.

Es ist der Inhalt, den eine Fläche hat. Er hat 2 Dimensionen: eine Länge und eine Breite.

Man bekommt ihn einfach heraus, indem man die beiden Seitenlängen miteinander multipliziert:

A = k ⋅ p

Die Einheit des Flächeninhalts ist immer zweidimensional, das heißt, es ist immer ein Quadrat in der Einheit: mm2, cm2, m2, km2 usw.

 

BEACHTE: In Textaufgaben gibt es häufig Angaben in verschiedenen Einheiten. Zuerst musst du die Einheiten angleichen: Rechne zuallererst eine davon in die andere um, sonst kommt Unfug heraus.

 

Diagonalen im Rechteck berechnen

Die beiden Diagonalen im Rechteck sind immer gleich lang.

Da die Diagonalen stets die Hypotenuse des gebildeten rechtwinkligen Dreiecks sind, kann man sie mittels der Formeln für das rechtwinklige Dreieck berechnen.

Berechnungen am Quadrat

 

Das Quadrat ist eine Sonderform eines Vierecks. Die Besonderheit sind die gleichen Seitenlängen. Das hat Auswirkungen auf die Formeln und die Möglichkeiten der Berechnungen. 

Umfang im Quadrat berechnen

 

U = p + p + p + p

Nun fasst man die Seitenlängen zusammen:

U = 4p

 

Flächeninhalt im Quadrat berechnen

 

A = p ⋅ p

A = p2

 

Hier gibt es Besonderheiten in den Textaufgaben zur Prüfung: Man bekommt zum Beispiel einen Flächeninhalt und den Hinweis im Text, dass es sich um eine quadratische Fläche handelt. Damit ist klar: Die Seitenlängen sind alle gleich. Aus diesem Flächeninhalt muss man nun die Wurzel ziehen, denn das Wurzelziehen ist die Gegenoperation zum Quadrieren. Will man also das Quadrat weghaben, zieht man die Wurzel. Damit hat man die Seitenlänge im Quadrat.

 

 

Diagonalen im Quadrat berechnen

Die beiden Diagonalen im Quadrat sind immer gleich lang.

Da die Diagonalen stets die Hypotenuse des gebildeten rechtwinkligen Dreiecks sind, kann man sie mittels der Formeln für das rechtwinklige Dreieck berechnen.

Berechnungen am Parallelogramm

 

 

Berechnungen am Trapez

 

 

Berechnungen am Drachen

 

 

Zusammengesetzte Flächen