Das rechtwinklige Dreieck

Ankathete und Gegenkathete

Die beiden Katheten können noch näher bezeichnet werden. Das ist auch wichtig, da du garantiert den Sinus, Cosinus und Tangens in der Prüfung brauchst.

Wenn du genauer wissen willst, was es damit auf sich hat, sieh dir dieses Video an. Musst du aber nicht unbedingt. Jedenfalls nicht für den MSA.

Für die Prüfung musst du lediglich wissen, wie du diese beiden bestimmen kannst, um sie dann richtig einzusetzen.

Wichtig ist: Beide Namen können für beide Katheten in ein- und derselben Rechnung korrekt sein. Ich denke, das ist genau das Verwirrende daran.

Aber die Lösung ist leicht: Es liegt nämlich daran, welchen Winkel man gerade ansieht.

Jeder der beiden Winkel zwischen einer Kathete und der Hypotenuse, also im Bild oben zwischen den Winkeln α und β, hat jeweils eine An- und eine Gegenkathete. Der rechte Winkel nicht, der hat seine Hypotenuse gegenüber und gut ist. Es geht also um die anderen beiden Winkel.

Eine Ankathete liegt am Winkel direkt dran, das ist die Kathete, die zusammen mit der Hypotenuse diesen Winkel überhaupt erst macht. Beide Katheten können Ankatheten und beide Gegenkatheten sein. Es ist also wichtig, von welchem Winkel aus man guckt.

Schau, hier siehst du, was ich meine:

Es ist einfach, sich das vorzustellen und dann hast du auch keine Probleme mit dem Bestimmen, was deine An- und was deine Gegenkathete ist. Hock dich gedanklich in den Winkel rein und guck, wo dein Blick hinfällt, wenn du geradeaus schaust. Das ist eben deine Gegenkathete. Und direkt neben dir ist die Ankathete.

Da spielt es übrigens auch keine Rolle, wie der Winkel heißt, nur dass er überhaupt eine Bezeichnung bekommt. Das ist wichtig für das richtige Einsetzen in die Formeln.

Schauen wir uns das näher an.

Übertragen auf Formeln aus der Formelsammlung

Formeln haben Buchstaben als Platzhalter, die man in konkreten Aufgaben gegen Zahlen austauscht. Man nennt das allgemein "Einsetzen". Das Problem dabei ist, dass im Unterricht oft ein- und dieselbe Beschriftung gewählt wird, was sich einprägt. Und wenn die Beschriftung (in der Prüfung etwa) dann anders angeordnet wird, aber mit denselben Buchstaben (meist a, b, c), die man auch in der Formel wiederfindet, freut sich der Prüfling erst einmal ein Loch in den Bauch - und setzt trotzdem alles falsch ein.

Und das war's dann mit der Prüfungsaufgabe. Der Schüler versteht die Welt nicht mehr und es festigt sich in seinem Kopf "Ich bin schlecht in Mathe". Dabei ist das großer Quatsch und braucht bloß ein paar Informationen mehr, damit das nicht passiert. Mitdenken ist wichtig, genau hingucken auch. 

Das Falsche passiert, wenn man noch nicht begriffen hat, worauf es ankommt. 

Damit du das begreifst, schau dir zunächst die vier Abbildungen von Dreiecken an, so oder so ähnlich kommen sie in Prüfungsaufgaben vor:

Das sind 4 identische, rechtwinklige Dreiecke - identisch meint hier, die Winkel sind alle gleich groß und die Seiten auch.

Aber sie heißen unterschiedlich. Ändert der Name etwas an der Länge oder Winkelgröße? Nein, natürlich nicht. 

Das ist ein wenig wie bei uns Menschen, nicht der Name macht uns lang oder breit, sondern unsere Gene und was wir essen und wie viel wir uns bewegen. Unser Name hat nichts damit zu tun. Hier ist es genauso.

Ich will mal eine Verbindung herstellen: Wenn du deine Freundin mit dem Namen deiner Ex-Freundin bezeichnest, was passiert dann? Nichts Gutes jedenfalls, oder?

Hier in der Mathematik auch nicht. Gib in die Formeln die korrekten Namen ein, sonst passiert auch hier nichts Gutes! Die Namen sind hier nur eben keine ganzen Namen, sondern einzelne Buchstaben. Reicht aus und ist viel kürzer.

Nehmen wir uns ein ganz einfaches Beispiel vor: Du hast 2 Seiten gegeben. Diese beiden Seitenlängen stehen entweder in der Aufgabe oder du hast eine davon vorher berechnet. Egal wie, du sollst die 3. Seite berechnen.

In der Formelsammlung hast du die Wahl zwischen 2 Dreiecken:

Und? Stimmt's?

Falls nicht: Lies nochmal die Erklärungen.

Falls ja: Gratuliere!

Im nächsten Schritt musst du nur noch die Zahlen einsetzen, falls du die Hypotenuse berechnen sollst.

Wenn du eine der Seiten berechnen sollst, ist noch die Umstellung deiner Gleichung nötig. Du kannst aber vorher schon die Zahlen einsetzen. Was du berechnen sollst, bleibt als Buchstabe da stehen.

Genauso läuft das bei den Winkeln, es ist vollkommen egal, wie sie heißen. Schau, wie die Winkel in deinem Dreieck heißen und ändere, falls nötig, die Buchstaben in den Formeln für die Berechnung der Winkel und Seiten, so dass es zu deinem Dreieck passt.

Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck

Beispiel aus der MSA-Prüfung 2012

Es gibt nun meist in den Prüfungen viele Möglichkeiten, aus den Angaben im Text die gewünschten Seiten und Winkel zu berechnen. Die guten Nachrichten sind: Hast du einmal kapiert, worauf es dabei ankommt, sind die Rechnungen selbst ein Spaziergang. Dabei will ich dir helfen.

Denk immer daran, dass du die Buchstaben zuerst anpassen musst in den Formeln. Das muss dein erster Schritt sein!!!

Beginnen wir mit einer Trigonometrie-Aufgabe aus 2012 und konzentrieren uns zuerst auf das rechtwinklige Dreieck. Schritt für Schritt holen wir uns die 7 Punkte.

Richtig? Gratuliere!!

Falls nicht: Such so lange und probier so lange, bis du es herausgefunden hast.

Dummerweise muss ich den umstellen, weil meine gesuchte Strecke nicht vorn steht. So kann ich das nicht ausrechnen:

Und schon kann ich das in meinen Taschenrechner eingeben und habe die Strecke AD.

AD = 31,9 m

In der Aufgabe steht, man solle auf ganze Meter runden. Ok...

AD ≈ 32m

Und weil wir nett sind, formulieren wir einen Antwortsatz:

Die Länge der Straßenfront AD beträgt ca. 32m.

2 Punkte. Check!  Ehrlich: Das Erklären dauert 1000 Mal länger als die Aufgabe zu lösen! 

Aufgabe b ist dann ein Kinderspiel. Hier würde ich den Pythagoras empfehlen: Ich soll AC berechnen, das ist die Hypotenuse, weil die Strecke gegenüber dem rechten Winkel liegt.

Der Pythagoras geht so (der Einfachheit halber lasse ich die Einheiten weg, im Antwortsatz tauchen sie dann wieder auf). Och nein, du musst schon erst einmal selber rechnen. Das macht nämlich schlauer: 

AC² = 4617,61m²

Ich will aber keinen Flächeninhalt haben (erkennbar am Quadrat), sondern eine Strecke.

Das Quadrat muss weg. Wie mache ich das Quadrat weg? Richtig, ich ziehe die Wurzel:

√ 4624m² = 67,95m ≈ 68m

Und auch hier sind wir nett und schreiben einen Antwortsatz:

Die Länge der Grundstücksgrenze AC beträgt ca. 68m.

Und diese beiden Punkte gehören nun auch uns! Juhu! Und sooo einfach...

In Aufgabe c geht es um das Grundstück von Müller. Das ist zwar ein beliebiges Dreieck, dennoch brauchen wir hier Hr. Schmidts Grundstücksfläche zur Berechnung. Und das ist immer noch rechtwinklig.

Ich zeige es dir:

Da wir alle Angaben von Hr. Schmidt haben, können wir seinen Flächeninhalt leicht berechnen. Sein Dreieck ist rechtwinklig, das ist einfach.

Bekommst du es hin? Such die Formel für den Flächeninhalt in rechtwinkligen Dreiecken und setze ein. Probier mal.

Richtig? Perfekt!

Nicht richtig? Ok, überlege, was du falsch gemacht haben könntest.

Jetzt können wir die Grundstücksfläche von Hr. Schmidt von der Gesamtfläche abziehen und was übrig bleibt, gehört Hr. Müller:

Sind wir fertig? Der Blick in die Aufgabe zeigt: Nein. Der Preis wird gesucht. Den haben wir noch nicht. Aber nun können wir ihn endlich ausrechnen. Das ist simpel:

Und auch hier gehört ein Antwortsatz hin:

Hr. Müller verkauft sein Grundstück für 18.240€.

Das war es schon. Die 7 Punkte gehören uns :-)

Quiz zur Trigonometrie - Faktenwissen