Mathematik - Grundlagen
Mathe ist nicht nur ein Fach, in dem man logisch denken muss. Zuerst einmal muss man die Regeln der Mathematik kennen und genau befolgen.
Ich habe die Erfahrung gemacht, dass die Schüler genau hier bereits scheitern. Sie kennen die Regeln nicht.
Und deshalb gibt es alle für den MSA relevanten Regeln hier mal zusammengefasst.
Rechenregeln - sehr kurz zusammengefasst
Hier findest du eine Zusammenfassung der wichtigsten Rechenregeln zum Ausdrucken und Auswendig-Lernen.
➥ Merk dir
Punkt- vor Strichrechnung!
Bei der Addition und Multiplikation dürfen die Partner vertauscht werden
Grundrechenarten und "Punkt- vor Strichrechnung"
Das ist die bekannteste Regel in der Mathematik. Und gleichzeitig auch die Regel, die am häufigsten verletzt wird.
Aber eins nach dem anderen.
Sie besagt, dass es in einer Gleichung eine Hierarchie, also eine Rangordnung der Rechenoperationen gibt:
Zuerst werden alle Multiplikationen ("⋅") und Divisionen (":" oder Bruchstrich) ausgeführt, dann erst addiert (+) und subtrahiert (-). Alle Rechenoperationen mit Punkten haben also Vorrang vor den Rechenoperationen mit Strichen.
Wer das nicht weiß, rechnet immer von links nach rechts und damit falsch. Ich will dir ein Beispiel zeigen, dann siehst du, was ich meine:
18 + 5 - 3 ⋅ 4
Die Regel besagt, dass man zuerst die Punktrechnung ausführen muss.
Das wäre hier 3 ⋅ 4 = 12
Wenn du das gemacht hast, heißt deine Aufgabe nun:
18 + 5 - 12
Jetzt erst darfst du von links nach rechts durchrechnen, denn + und - sind gleichrangige Rechenoperationen, hier hat niemand Vorrang:
18 + 5 = 23, dann 23 - 12 = 11
Jetzt hast du richtig gerechnet.
Aber warum ist das eigentlich so? Warum haben Multiplikation und Division Vorrang vor den anderen beiden Rechenoperationen?
Nun, es sind Zusammenfassungen der beiden Grundrechenarten.
Die Mathematik basiert vor allem auf dem Zählen: Es kommen gleiche Dinge hinzu oder werden weggenommen. Wir zählen.
Manchmal aber müssten wir ganz irrsinnig viel zusammenzählen und zwar immer dasselbe. Da lohnt es sich, das abgekürzt aufzuschreiben. Hier zum Beispiel:
7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = ???
Ich weiß nicht, wie es dir geht - aber ich sehe hier nicht mehr durch. Das kann unser Blick nicht mehr gut erfassen. Stattdessen kann man auch schreiben:
16 ⋅ 7
Ist viel kürzer, oder?
Die Multiplikation ist also eine kurze Zusammenfassung der Addition gleicher Zahlen. Und es macht Sinn, das zuerst zu rechnen, bevor andere Zahlen dazukommen.
So ähnlich verhält es sich mit der Division, aber darauf gehe ich jetzt nicht extra ein. Das reicht für die Vorstellung.
Aber auch die Multiplikation kann man zusammenfassen. Das wären dann die Potenzen. Dazu gibt es später mehr.
Grundlegende Gesetze:
Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz
Diese beiden Gesetze sind sehr wichtig und gehören zu den absoluten Basics in der Mathematik: Man muss nicht von links nach rechts alles durchrechnen
und manchmal darf man das auch gar nicht.
Manchmal MUSS man anders rechnen und manchmal bietet es sich an. Wichtig ist, dass man die Rechenreihenfolge immer beachtet.
Kommutativgesetz
Es heißt auch "Vertauschungsgesetz" und besagt, dass man bei der Addition oder Multiplikation von zwei Zahlen beide Seiten vertauschen kann.
Beispiele:
8 + 122 = 122 + 8
7 · 2 = 2 · 7
Assoziativgesetz
Es heißt auch "Verknüpfungsgesetz" und besagt, dass die Reihenfolge der Ausführung mathematischer Operationen für die Addition oder Multiplikation keine Rolle spielt.
Beispiele:
19 + (1 + 20) = (19 + 1) + 20
in beiden Fällen kommt 40 heraus
2 · (3 · 4) = (2 · 3) · 4
in beiden Fällen kommt 24 heraus
Distributivgesetz
Es heißt auch "Verteilungsgesetz" und besagt, dass man Klammern auflösen kann, indem man die Inhalte der Klammer auf die Zahl davor "verteilt".
Beispiele:
2x (7 + y) = 2x · 7 + 2x · y
Das hat viele Auswirkungen auf das Lösen von Gleichungen und da die Mathematik oft durch Gleichungen dargestellt wird, hat es Auswirkungen auf die Mathematik insgesamt. Deshalb ist das wichtig.