Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind, wie der Name schon sagt, linear. Das sieht man auch deutlich an den Graphen, die man mit dieser Funktion im Koordinatensystem zeichnen kann: Es sind Linien. Mathematisch ausgedrückt: Es sind Geraden, manchmal auch Strahlen oder Strecken.

Zur Klarheit will ich dir die Begriffe kurz erläutern:

1. Eine Strecke hat einen Anfang und ein Ende. Bei einer Strecke kann man die Länge angeben.
2. Ein Strahl hat einen Anfang, aber kein Ende.
3. Eine Gerade hat keinen Anfang, aber kein Ende.

Strahl und Gerade sind unendlich lang.

Klären wir zunächst die Frage: Was ist eine Funktion?

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem Ausgangswert (x) wird über eine bestimmte Berechnung eindeutig ein Funktionswert (y) zugeordnet. Daraus folgt, dass jeder Ausgangswert (x) nur genau einen Funktionswert (y) haben darf.

Werden einem Ausgangswert (x) verschiedene mögliche Funktionswerte (y) zugeordnet, so ist es keine lineare Funktion mehr.

Eine Funktion kann über verschiedene Wege gegeben werden:

• Textvorschrift (die "allseits beliebten" Textaufgaben)
• Graphische Darstellung in einem Koordinatensystem
• Funktionsgleichung

Weiter unten werden wir uns diese Möglichkeiten näher ansehen. Zuerst gibt es aber noch eine Wiederholung zum Aufbau des Koordinatensystems.

Das Koordinatensystem

Das Koordinatensystem ist die Basis für unsere graphischen Darstellungen. Deshalb ist es sehr wichtig, dass du den Aufbau sicher beherrschst.

Es gibt eine waagerechte Achse: die X-Achse und eine senkrechte Achse: die Y-Achse.

Beide Achsen sind nach beiden Seiten unendlich. Trotzdem machen wir nur nach oben und nach rechts einen Pfeil an die Achsen, um dies darzustellen. Die Einteilung der Achsen muss immer in den gleichen Abständen erfolgen; in der Regel 2 Kästchen für eine Einheit. So sollte es aussehen:

Eine lineare Funktion, ist, wie gesagt, eine Funktion bei der jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird und umgekehrt.

Eine lineare Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung:

y = m⋅x + n

Diese allgemeine Funktionsgleichung für lineare Funktionen solltest du auswendig kennen!

Die 4 einzelnen Buchstaben bedeuten folgendes:

• y → Der Funktionswert, der sich aus der Berechnung für einen gegebenen x-Wert ergibt. Der y-Wert ist dabei abhängig vom eingesetzten x-Wert.
• x → Der jeweils gegebene Wert, den man zur Berechnung von y einsetzt.
• m → Die Steigung der Funktion, welche bestimmt, wie die Funktion verläuft:
  m ist positiv → die Funktion steigt, d.h. sie läuft von links unten nach rechts oben
  m ist negativ → die Funktion fällt, d.h. sie läuft von links oben nach rechts unten
  Wichtig: I m I ist der Betrag von m, also nur die Zahl selbst ohne Vorzeichen
  | m I = 1, die Funktion verläuft in einem Winkel von 45° (genau diagonal durch die Kästchen)
  I m I > 1, die Funktion ist steil
  I m I < 1, die Funktion ist flach
  
  
• n → y-Achsenabschnitt, heißt: der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse

An diesen beiden beispielhaften Geraden kann man den Einfluss von m und n erkennen: