Daten und Zufall
Das Thema Daten und Zufall ist für euch in der Prüfung sehr wichtig, da es in jeder Prüfung vorkommt. Dieses Thema wird auch Stochastik genannt und unterteilt sich in 2 große Bereiche:
- Statistik: Das Erfassen, Sortieren, Auswerten und Darstellen von Daten
- Wahrscheinlichkeitsrechnung: Das Treffen von Vorhersagen für den möglichen Ausgang zukünftiger Ereignisse.
Wir werden uns beide Themen in den nächsten Kapiteln ausführlich ansehen.
Daten
Beginnen wir mit dem Bereich Daten, also der Statistik. Diesen Bereich der Mathematik treffen wir nahezu täglich auch im wahren Leben an. Wir führen in Deutschland unzählige Statistiken und haben sogar ein eigenes Bundesamt dafür. Folgend nur einige Beispiele für Statistiken:
- Zahl der Geburten und Tode, Bevölkerung und Bevölkerungsentwicklung
- Hochzeiten und Scheidungen
- Wahlen, Wahlumfragen- und prognosen, Volksbefragungen
- durchschnittliches Einkommen und Vermögen der Bevölkerung
- Wirtschaftswachstum, Inflation, Arbeitslosenzahlen
- und viele andere mehr.....
Schauen wir uns an, wie man zu einer Statistik kommt. Zuerst müssen die Daten erfasst werden.
Daten erfassen
Wenn Daten erfasst werden sollen, gibt es verschiedene Möglichkeiten an diese zu gelangen. Man kann Befragungen oder Abstimmungen durchführen, man kann einfach zählen oder auf Daten zurückgreifen, die ohnehin gemeldet werden müssen. Diese Daten werden in verschiedenen Listen erfasst:
| Listenart | Bedeutung | Beispiel | ||||||
| Urliste | ist die ungeordnete Sammlung aller erfassten Daten |
Noten eines Tests: 5, 6, 3, 2, 3, 4, 1, 2 |
||||||
| Rangliste | Daten werden nach Größe sortiert |
Noten des Tests, nach Größe geordnet: 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6 |
||||||
| Strichliste | Häufigkeitstabelle wird angelegt | Note | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Anzahl | I | II | II | I | I | I | ||
Jetzt kann man schon erste Kennzahlen ermitteln:
| n | Gesamtheit aller erfassten Daten |
Anzahl der Noten = 8 |
||||||
| H |
absolute Häufigkeit (wie oft kommt ein Wert vor) |
z.B. Die Note "3" kommt zweimal vor. | ||||||
| h |
relative Häufigkeit (wie oft kommt der Wert prozentual vor) |
z.B. Note "3" 2/8 = 1/4 = 25% |
||||||
Nachdem wir jetzt die Grundlage für die Auswertung der Daten geschaffen haben, können wir weitere Kennzahlen bestimmen.
Auswerten von Daten
Beim Auswerten der Daten geht es nun darum, die erfassten Daten zusammenzufassen und aussagekräftige Kennzahlen zu bilden, damit sich nicht jeder alle Daten ansehen muss. Über die vereinfachten Kennzahlen, uns später eventuell die graphische Darstellung, bekommt jeder schnell einen Eindruck über die Statistik. Es gibt sehr viele dieser Kennzahlen in der Statistik, wir müssen uns aber im MSA nur um die folgenden Kennzahlen kümmern:
Modalwert (Modus):
Arithmetisches Mittel (Mittelwert, Durchschnitt):
Zentralwert (Median):
Spannweite:
Einzelabweichung:
mittlere Abweichung:
Wert, der am häufigsten vorkommt
Der Durchschnitt aller Werte
Wert, der in der Rangliste genau in der Mitte liegt
Wie weit liegen der größte und der kleinste Wert auseinander?
Wie weit weicht der einzelne Wert vom Durchschnitt ab?
Wie weit weichen die Werte durchschnittlich vom Durchschnitt ab?
einfach zählen
Summe aller Werte
Anzahl aller Werte
bei einer ungeraden Anzahl von Daten:
Werte nach Größe sortieren und Zahl genau in der Mitte bestimmen;
bei einer geraden Anzahl von Daten stehen zwei Werte genau in der Mitte, hier die beiden addieren und durch 2 teilen
größter Wert - kleinster Wert
für jeden einzelnen Wert: Wert - Durchschnitt
beim Ergebnis nehmen wir nur die Zahl, das Vorzeichen ignorieren wir
Summe aller Einzelabweichungen
Anzahl der Werte
Mit diesen Kennzahlen können wir nun einen Eindruck der erfassten Daten gewinnen, ohne jeden einzelnen Wert gesehen zu haben.
In der Prüfung gibt es zu diesem Thema in der Regel nicht mehr als 5 Daten und Ihr sollt bestimmte Kennzahlen ermitteln.
Beispiel: Benzinpreise in Euro: 1,29 ; 1,31 ; 1,36 ; 1,27 ; 1,33
Modalwert (Modus):
Arithmetisches Mittel (Mittelwert, Durchschnitt):
Zentralwert (Median):
Spannweite:
Einzelabweichung:
mittlere Abweichung:
Wert, der am häufigsten vorkommt
Der Durchschnitt aller Werte
Wert, der in der Rangliste genau in der Mitte liegt
Wie weit liegen der größte und der kleinste Wert auseinander?
Wie weit weicht der einzelne Wert vom Durchschnitt ab?
Wie weit weichen die Werte durchschnittlich vom Durchschnitt ab?
Hier kommen alle Werte genau einmal vor.
(1,29+1,31+1,36+1,27+1,33) : 5 =1,312
1,27 ; 1,29 ; 1,31 ; 1,33 ; 1,36
die Werte nach der Größe sind sortiert und in der Mitte steht: 1,31
größter Wert - kleinster Wert
1,36 - 1,27 = 0,09
1,27 - 1,312 = (-) 0,042
1,29 - 1,312 = (-) 0,022
1,31 - 1,312 = (-) 0,002
1,33 - 1,312 = 0,018
1,36 - 1,312 = 0,048
Vorzeichen ignorieren wir
(0,042+0,022+0,002+0,018+0,048) :5 = 0,0264
Darstellung von Daten
Um die Daten noch einfacher und übersichtlicher zu präsentieren, werden sie häufig in einem Diagramm dargestellt. Es gibt verschiedene Diagrammarten. Die für euch wichtigsten sind:
Beide Diagramme basieren auf dem Koordinatensystem. Sehr wichtig ist, dass die y - Achse immer bei Null beginnt und die Skalierung in gleichen Schritten erfolgt.
Streifendiagramm
Hier werden die Werte nacheinander abgetragen.
Solltet ihr eins zeichnen müssen, macht es 10cm lang, dann entsprechen 10% = 1cm und ihr könnt es sehr leicht zeichnen.
Kreisdiagramm:
Beim Kreisdiagramm müsst ihr die angegebenen Prozente in Grad umwandeln, um sie einzeichnen zu können. Dafür multipliziert ihr einfach die Prozente mit 3,6 und erhaltet die Gradzahl, die ihr dann abtragen könnt.