Bruchrechnen

Brüche sind einfache Divisionen

Was ist überhaupt ein Bruch?

Brüche sind für einige irgendwie grauselige Dinger, mit denen sie nichts anfangen können. Ich persönlich halte sie aber für extrem elegante Dinger, sehr hilfreich!

Häufig werden Brüche als Teil eines Ganzen betrachtet. So, wie der Name "Bruch" es bereits sagt: Wenn etwas bricht, ist es ja nicht mehr ganz. Und die Einzelteile sind dann eben auch unterschiedlich groß. Beispielsweise, wenn eine Vase herunterfällt: Sie war mal ein Ganzes, nach dem Herunterfallen ist sie in unterschiedlich große Stücke zerbrochen. Jedes Stück könnte man jetzt als Bruch darstellen, um seine Größe zu beschreiben. 

Das ist aber langweilig. Vor allem, wenn es so sinnlos ist wie bei einer heruntergefallenen Vase. Handfeger und Müllschippe lösen dieses mathematische Problem auf sehr einfache Weise.

In der Schule stellt man Brüche oft als Torte oder Pizza dar. Das ist viel sinnvoller. Bleiben wir bei der Pizza: Angenommen, du lädst dir Freunde nach Hause ein und hast eine Pizza für sie gemacht. Es gibt Freunde, die du lieber magst und solche, die du auch magst, aber weniger. Und nun schneidest du die Pizza in unterschiedlich große Stücke. Die, die lieber magst, bekommen größere Stücke und die, die du weniger gern hast, kleinere. Dein Freundeskreis würde sehr schnell schrumpfen, oder?

Also hast du ganz schlau die Pizza in gleich große Stücke geschnitten. Und automatisch und ganz von selber sofort begriffen, was unterschiedliche Brüche auslösen können im Alltag.

Schneiden wir gedanklich die Pizza in gleiche Stücke. Je nach Freundeskreis wird jedes einzelne Stück groß oder auch klein:

Jetzt zu Corona-Zeiten oder bei Menschen mit kleinem Freundeskreis wird jeder ein großes Stück abbekommen, da man die Pizza nur wenig teilt - zum Beispiel in Viertel (¼).

4 von diesen ¼-Teilen sind dann ⁴/₄ oder auch ein Ganzes: 1.

Aber wenn es 12 Menschen sind, die etwas von der Pizza abbekommen sollen, muss man die Pizza in kleinere Stücke schneiden: in 12 gleiche Teile. Jeder bekommt dann ¹/₁₂.

Der Bruchstrich ist automatisch immer ein Geteilt-Zeichen, da eine Person sich die Pizza mit den anderen teilt.

Brüche umrechnen in Dezimalzahlen und Prozent

Das ist super, weil man auf diese Weise aus jedem Bruch ganz einfach eine Dezimalzahl machen kann:

Teile einfach den Zähler oben durch den Nenner unten.

So wird aus ¼ die 0,25.

Und das kannst du dann auch gleich einfach in Prozent umrechnen: Multipliziere die Dezimalzahl mit 100. So wird aus der 0,25ein 25 %.

Also sind gleich:

¼ = 0,25 = 25 %

So errechnest du sehr schnell aus:

1. jedem Bruch die Dezimalzahl = Zähler : Nenner
2. und die Prozente = Dezimalzahl ⋅ 100.

Und umgekehrt:

1. Dezimalzahl = Prozent : 100
2. Bruch aus einer Dezimalzahl ist etwas schwieriger:
   Verschieb das Komma so lange, bis es ganz hinten steht und zähle, wie oft du es verschoben hast.
   Dann schreib die Zahl ohne Komma hin, mach einen Bruchstrich darunter und schreibe eine 1 mit soviel Nullen hin, wie du das Komma verschoben hast.
   Im 2. Schritt kürzt du den Bruch nun bis nichts mehr zu kürzen geht.

Machen wir dazu ein Beispiel:

1. Du sollst 1,25 als Bruch darstellen.
   Schritt 1: Komma verschieben
   1,25 → 125 (Komma 2 Stellen nach rechts verschoben hinter die 4)
   Schritt 2: Bruch daraus machen
   Zähler 125 und Nenner 1 und 2 Nullen (wegen der Verschiebung um 2 Stellen):
   ¹²⁵/₁₀₀
   Schritt 3: kürzen
   sind beide durch 25 teilbar (um das zu sehen, brauchst du dringend das Einmaleins im Kopf!):
   ⁵/₄

➥ Merk dir:

Dezimalzahl aus einem Bruch: Zähler : Nenner

Prozentzahl aus einem Bruch: Zähler : Nenner  ⋅ 100

Bruch bilden aus einer Dezimalzahl: Komma verschieben bis ans rechte Ende, unter den Bruchstrich eine 1 mit derselben Anzahl an Nullen wie das Komma verschoben wurde, Bruch dann kürzen.

Brüche erweitern

Das Erweitern ist das Gegenteil des Kürzens. Hier multipliziert man Zähler und Nenner derselben Zahl:

Wie beim Kürzen auch kommt es hier darauf an, dass man den Wert des Bruches nicht verändern darf. Das erreicht man, indem man Zähler und Nenner IMMER mit exakt derselben Zahl multipliziert.

Niemals zum Erweitern den Zähler mit einer anderen Zahl multiplizieren als den Nenner!!!

Solange du dieses Gesetz beachtest, kannst du jeden Bruch beliebig erweitern. Und zwar immer jeden Bruch für sich.

Das macht man sich für die Addition und Subtraktion von Brüchen zunutze.

➥ Merk dir:

Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl.

Der Bruchwert darf sich dabei nicht verändern.

Ansonsten darfst du beliebig erweitern.

Brüche kürzen

Das Kürzen und Erweitern von Brüchen bereitet vielen Schülern Mühe. Der Grund ist oft easy: Häufig sehen sie nicht, durch welche Zahl sie teilen oder mit welcher sie multiplizieren müssen, um Brüche zu teilen und zu erweitern. Wenn das dein Problem ist, MUSST du nochmal ran und das Einmaleins lernen. Wenn du das als Grundschüler nicht gemacht hast, muss es jetzt eben nachgeholt werden. Ohne das Einmaleins stabil im Kopf wird dir dieser Schritt immer Mühe bereiten!

Wie kürzt man einen Bruch?

Zunächst einmal: Das Kürzen wirst du öfter brauchen als das Erweitern, da Brüche im Ergebnis nur dann richtig zählen, wenn du sie maximal gekürzt hast.

Das Kürzen selbst geht einfach:

Teile Zähler und Nenner jeweils durch dieselbe Zahl, bis es keine mehr gibt, durch die beide gleichermaßen geteilt werden können. Es müssen immer ganze Zahlen herauskommen.

Um die zu finden, gibt es ein paar Tricks, die du gleich am Anfang prüfen kannst: 

• Alle geraden Zahlen sind immer durch 2 teilbar.
  Gerade Zahlen sind solche mit einer 0,2,4,6 oder 8 am Ende.
  Sind Zähler und Nenner also gerade, kannst du beide auf jeden Fall durch 2 teilen.
• Alle Zahlen, deren Quersumme durch 3 teilbar ist, sind auch durch 3 teilbar.
  Ok, Quersumme ist einfach: Zähle alle Ziffern in der Zahl einzeln zusammen, z.B. ist die Quersumme von 4.793 = 4+7+9+3 = 23. 23 ist nicht durch 3 teilbar, also ist es 4793 auch nicht. 15.975 ist durch 3 teilbar, denn die Quersumme (1+5+9+7+5) dieser Zahl ist 27 und 27 lässt sich durch 3 teilen. Also kann man auch 15.975 durch 3 teilen.
• Alle Zahlen, die auf 0 oder 5 enden, sind durch 5 teilbar.
• Alle Zahlen, die auf 0 enden, sind durch 10 teilbar.

Und so geht es Schritt für Schritt 
(das muss man auswendig können, sodass der Plan automatisch im Kopf abläuft)

1. Bruch genau ansehen:
   Durch welche Zahlen sind beide teilbar?
   Bei mehreren Möglichkeiten kann man alle Zahlen multiplizieren, die auf jeden Fall in Frage kommen.
2. Zähler und Nenner dann durch diese Zahl teilen.
3. Kontrolle: Sind die neuen Zahlen weiter teilbar?
   Wenn nicht, bist du fertig. Wenn doch: Nochmal kürzen!
4. Kontrolle des unveränderten Bruchwertes:
   Rechne deinen ursprünglichen und deinen neuen Bruch in Dezimalzahlen um. Kommt bei beiden exakt dasselbe raus? Gut, alles richtig gemacht!

Hier siehst du einige Beispiele:

Es ist sehr wichtig, dass du den BRUCHWERT (das ist die Dezimalzahl, die du erhältst, wenn du den Zähler durch den Nenner teilst) auf keinen Fall veränderst! Prüfe das also immer am Ende: Hat der Bruch, den du raushast am Ende noch immer EXAKT denselben Bruchwert wie der Bruch am Anfang? Wenn das so ist, ist alles richtig.

➥ Merk dir:

Beim Kürzen dividierst du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.

Der Bruchwert darf sich dabei nicht verändern.

Du musst so lange kürzen, bis das nicht mehr möglich ist.

Brüche addieren und subtrahieren

Kürzen und Erweitern brauchst du nun, wenn du 2 oder mehr Brüche addieren oder subtrahieren willst. Denn du brauchst hier vor allem eins: einen gemeinsamen Nenner bei allen Brüchen!

Da du den Bruchwert nicht verändern darfst, musst du einen oder mehrere Brüche jeweils so kürzen oder erweitern, dass alle am Ende den gleichen Nenner haben. Der Nenner ist also der Teil, auf den du zuerst schauen musst. Er gibt vor, wie du den Bruch kürzen oder erweitern musst. 

Addieren wir zuerst einmal 2 Brüche mit gleichem Nenner, das ist einfach:

Der Zähler heißt so, weil er gleich große Stücke einfach zusammenzählt. Die Größe der Bruchteile wird vom Nenner bestimmt, das weißt du bereits (steht weiter oben).

Wenn die Bruchteile alle gleich groß sind, muss man sie nur noch zusammenzählen. So einfach ist das.

Aber was, wenn die Bruchstücke nicht gleich groß sind? Dann kann man sie nicht einfach so zusammenzählen. Man muss sie erst einmal gleich groß machen - dann erst kann man die Zähler zusammenzählen.

Eine Möglichkeit: Man muss nur einen Bruch umwandeln, da der eine Nenner direkt in den anderen hineinpasst. Zum Beispiel diese Rechnung: 

Man sieht sich immer zuerst die Nenner an und sieht dann (wenn man das Einmaleins beherrscht!) sofort, dass die 3 in die 9 hineinpasst. So geht man vor:

1. Mein Nenner im Bruch ⅓ muss 9 sein, also multipliziere ich ihn mit 3:

3 ⋅ 3 = 9

2. Um den Bruchwert nicht zu verändern, kann man nur erweitern, also multipliziert man auch den Zähler mit 3:

1 ⋅ 3 = 3

Die Rechnung heißt dann:

Jetzt kann ich einfach die Zähler zusammenzählen - es sind ^5/₉.

Genauso funktioniert auch die Subtraktion.

Andere Möglichkeit: Die Nenner haben nichts miteinander zu tun:

Hier ist die Lösung sehr einfach:

1. Multipliziere zuerst beide Nenner miteinander.
2. Dann mulitpliziere jeden Zähler mit derselben Zahl wie den Nenner:

Wenn man sich das bildlich vorstellen möchte, muss man die Bruchstücke alle gleich groß machen, damit man sie zusammenzählen kann:

Das Ergebnis lässt sich sehr unterschiedlich darstellen: Als Bruch, als gemischten Bruch oder als Dezimalzahl:

➥ Merk dir:

Brüche werden so addiert oder subtrahiert:

1. gleiche Nenner → Bruch/Brüche erweitern
   
2. addieren/subtrahieren der Zähler, Nenner bleiben gleich

Brüche multiplizieren

Brüche zu multiplizieren, ist denkbar einfach:

Zähler ⋅ Zähler und Nenner ⋅ Nenner. Fertig.

Beispiel:

➥ Merk dir:

Brüche werden so multipliziert:

Zähler ⋅  Zähler und Nenner ⋅  Nenner.

Brüche dividieren

Brüche dividieren ist etwas komplizierter, am Ende muss man die Brüche dann aber wieder multiplizieren. Bevor man das tut, muss man den zweiten Bruch umdrehen, das heißt: Zähler und Nenner vertauschen. Man sagt dazu "Kehrwert" oder auch "Reziproke".

Gleichzeitig muss man aus der Division eine Multiplikation machen.

Hier ein Beispiel:

➥ Merk dir:

Brüche werden so dividiert:

1. Kehrwert beim zweiten Bruch bilden und Division zu Multiplikation umwandeln.
2. Brüche multiplizieren.